一、点乘（Dot Product）、点积 内积

点乘也称为标量积或内积，是两个等长向量之间的运算。它将两个向量的对应元素相乘，然后将乘积相加，得到一个标量值。点乘只适用于向量。

点积是点乘的另一种说法，通常在数学和物理学中使用，但在深度学习中，点乘和点积可以互换使用。

内积通常指的是点乘，是两个向量之间的运算，得到一个标量值。内积的概念也可以扩展到矩阵，称为矩阵乘法，但矩阵乘法的结果是一个矩阵，而不是一个标量。

1、对应元素相乘，求和

dot：只能张量中向量(一维)操作，结果是一个标量。比如两个embedding求相似度。

import torch
x = torch.tensor([1,2,3])
y = torch.tensor([1,1,2])
z = torch.dot(x,y)
print(z)
## 结果：tensor(9)

k = x*y
m = torch.mul(x,y) 
print(k)
print(m)

2、 对应元素相乘，不求和

*和 mul 操作是一样的，要求x,y具有相同的维度(一维向量，二维矩阵都可以)

import torch
x = torch.tensor([[3,3],[3,3]])
y = torch.tensor([[1,2],[3,4]])
k = x*y
m = torch.mul(x,y)  #x.mul(x)
print(k)
print(m)

## tensor([[ 3,  6],
           [ 9, 12]])
## tensor([[ 3,  6],
           [ 9, 12]])

3、 矩阵相乘

@和torch.mm和torch.matmul 作用一样

矩阵相乘有torch.mm和torch.matmul两个函数。其中前一个是针对二维矩阵，后一个是高维。当torch.mm用于大于二维时将报错。
a = [B,E]
b = [E,B]
c = torch.mm(a,b)
C 维度是[B,B]

4、torch.matmul重点解读

matmul 有广播机制

(1)两个 1 维，向量内积

a = torch.ones(3)
b = torch.ones(3)
print(torch.matmul(a,b))  # tensor(3.)

(2)两个 2 维，矩阵相乘

a = torch.ones(3,4)
b= torch.ones(4,3)
print(torch.matmul(a,b))  
# tensor([[4., 4., 4.],
#        [4., 4., 4.],
#        [4., 4., 4.]])

(3)一个 1 维，二个 2 维，矩阵和向量相乘

注意：相靠近的那个维数要相同，比如（7）和（7,8,5)，又比如（7,8,5）和（5）

a = torch.ones(3)
b= torch.ones(3,4)
print(torch.matmul(a,b))  # tensor([3., 3., 3., 3.])

a = torch.ones(3,4)
b = torch.ones(4)
print(torch.matmul(a,b))  # tensor([4., 4., 4.])

(4)、高维情况

i）其中一个1维，另一个N维（N>2): 类似3），即需要靠近的那个维数相同，比如（7，）和（7,8,11），又比如（7,8,11）和（11，）

ii）都高于2维，那么除掉最后两个维度之外（两个数的维数满足矩阵乘法，即，(m,p)和(p,n)），剩下的纬度满足pytorch的广播机制。

a=torch.ones(5,3,4,1)
b=torch.ones(  3,1,1)
print(torch.matmul(a,b))